7608. Боковые рёбра прямоугольного тетраэдра равны a
, b
и c
. Найдите площадь основания и высоту тетраэдра.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}
, \frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}}
.
Указание. См. задачу 7239(б).
Решение. Пусть DA=a
, DB=b
, DC=c
— боковые рёбра прямоугольного тетраэдра ABCD
, S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
— площади боковых граней соответственно ADB
, ADC
и BDC
, а S
— площадь основания ABC
. Тогда
S_{1}=\frac{1}{2}ab,~S_{2}=\frac{1}{2}ac,~S_{3}=\frac{1}{2}bc,
Следовательно (см. задачу 7239(б)),
S^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}=\frac{1}{4}a^{2}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}c^{2}+\frac{1}{4}b^{2}c^{2}=\frac{1}{4}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}).
Пусть DH
— высота тетраэдра, а объём тетраэдра равен V
. Тогда V=\frac{1}{3}S\cdot DH
и V=\frac{1}{3}S_{1}\cdot DC
, значит, S\cdot DH=S_{1}\cdot DC
. Следовательно,
DH=\frac{S_{1}\cdot DC}{S}=\frac{\frac{1}{2}ab\cdot c}{\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}}=\frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}}.
Примечание. Вычисление высоты прямоугольного тетраэдра методом координат. Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в вершине D
прямоугольного тетраэдра ABCD
, направив ось Dx
по лучу DA
, ось Dy
— по лучу DB
, ось Dz
— по лучу DC
. Пусть DA=a
, DB=b
, DC=c
. Тогда уравнение плоскости ABC
имеет вид
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564), или
bcx+acy+abz-abc=0.
Высоту DH
найдём по формуле расстояния от точки D(0;0;0)
до плоскости ABC
(см. задачу 7563), т. е.
DH=\frac{|bc\cdot0+ac\cdot0+ab\cdot0-abc|}{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}}=\frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}}.