7907. В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на плоскость основания равна 5, а высота равна 12. Сечение, перпендикулярное боковому ребру, есть ромб с площадью 24 и диагональю 8. Найдите боковую поверхность и объём параллелепипеда.
Ответ. 260; 312.
Указание. Объём призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро (см. задачу 7310). Боковая поверхность призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро (см. задачу 9107).
Решение. Пусть P
— ортогональная проекция вершины A
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на плоскость основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. По условию задачи AP=12
, PA_{1}=5
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника APA_{1}
находим, что
AA_{1}=\sqrt{AP^{2}+PA_{1}^{2}}=\sqrt{144+25}=13.
Пусть V
— объём параллелепипеда, S
— его боковая поверхность. Объём призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро (см. задачу 7310). Поэтому
V=24\cdot13=312.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей d_{1}
и d_{2}
. Если d_{1}=8
, то
d_{2}=2\cdot\frac{24}{d_{1}}=\frac{48}{8}=6.
Поэтому сторона ромба равна
\sqrt{\left(\frac{d_{1}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{d_{2}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5.
Боковая поверхность призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро (см. задачу 9107). Следовательно,
S=4\cdot5\cdot13=260.