7978. В правильной четырёхугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через середины двух соседних сторон основания и середину отрезка, соединяющего центры оснований, другое делит этот отрезок в отношении 1:3
. Известно, что площадь первого сечения равна S
. Найдите площадь второго.
Ответ. \frac{11}{12}S
.
Решение. Первый способ. Пусть O
и O_{1}
— центры оснований соответственно ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
правильной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, E
— середина OO_{1}
, M
и N
— середины сторон AB
и BC
основания ABCD
, прямая MN
пересекает прямые AD
, CD
и диагональ BD
основания в точках X
, Y
и P
соответственно, прямая PE
пересекает прямые B_{1}D_{1}
и DD_{1}
в точках Q
и Z
соответственно, K
— точка пересечения ZX
и AA_{1}
, L
— точка пересечения ZY
и CC_{1}
.
Прямоугольные треугольники XAM
и NBM
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому XM=MN
. Аналогично, YN=MN
, а так как KM\parallel YZ
и NL\parallel XZ
(см. задачу 8009), то треугольник MKX
подобен треугольнику YZX
с коэффициентом \frac{1}{3}
. Значит, S_{\triangle MKX}=\frac{1}{9}S_{\triangle XYZ}
. Аналогично, S_{\triangle LNY}=\frac{1}{9}S_{\triangle XYZ}
.
Пусть первая из указанных условии плоскостей пересекает рёбра A_{1}D_{1}
и C_{1}D_{1}
в точках G
и H
соответственно. Тогда первое сечение — шестиугольник KMNLHG
, причём GH\parallel MN\parallel A_{1}C_{1}
, поэтому G
и H
— середины рёбер A_{1}D_{1}
и C_{1}D_{1}
. Значит, ZG=GK
, а так как K
— середина ребра AA_{1}
, то GK=KX
. Следовательно, треугольник GHZ
подобен треугольнику XYZ
с коэффициентом \frac{1}{3}
, и S_{\triangle GHZ}=\frac{1}{9}S_{\triangle XYZ}
. Таким образом, площадь первого сечения
S=S_{KMNLHG}=S_{\triangle XYZ}-3\cdot\frac{1}{9}S_{\triangle XYZ}=\frac{2}{3}S_{\triangle XYZ},
а S_{\triangle XYZ}=\frac{3}{2}S
.
Пусть F
— точка на отрезке OO_{1}
, для которой OF:FO_{1}=1:3
, а плоскость второго сечения, проходящая через точку F
, пересекает прямые AD
, CD
и DD_{1}
в точках X'
, Y'
и Z'
соответственно, а отрезок OP
— в точке T
. Тогда T
— середина OP
Треугольник X'Y'Z'
подобен треугольнику XYZ
с коэффициентом DT:DP=5:6
, значит,
S_{\triangle X'Y'Z'}=\frac{25}{36}S_{\triangle XYZ}=\frac{25}{36}\cdot\frac{3}{2}S=\frac{25}{24}S.
Пусть вторая секущая плоскость пересекает ребра AA_{1}
, AB
, BC
, CC_{1}
, C_{1}D_{1}
и A_{1}D_{1}
в точках K'
, M'
, N'
, L'
, H'
и G'
соответственно. Тогда второе сечение — шестиугольник K'M'N'L'H'G'
. Чтобы получить его площадь, нужно из площади треугольника X'Y'Z'
вычесть площади треугольников K'X'M'
, N'Y'L'
и G'Z'H'
. Каждый из эти трёх треугольников подобен треугольнику X'Y'Z'
с коэффициентом X'M':X'Y'=X'A:X'D=\frac{1}{5}
. Следовательно,
S_{MNLHGHK}=S_{\triangle X'Y'Z'}-3\cdot\frac{1}{25}S_{\triangle X'Y'Z'}=\frac{22}{25}S_{\triangle X'Y'Z'}=\frac{22}{25}\cdot\frac{25}{24}S=\frac{11}{12}.
Если O_{1}F:FO=1:3
, то соответствующее сечение — пятиугольник, равный пятиугольнику KMNLQ
.
Второй способ. Используем обозначения первого способа. Пусть G''
, H''
, U
и V
— ортогональные проекции точек соответственно G'
, H'
, H
и G
на плоскость основания ABCD
, а площадь квадрата ABCD
равна s
. Обе секущие плоскости образуют один и тот же угол \varphi
с плоскостью основания призмы, поэтому отношение площадей сечений равно отношению площадей ортогональных проекций сечений на плоскость основания (см. задачу 8093), т. е.
\frac{S_{K'M'N'L'H'G'}}{S_{KLMNHG}}=\frac{\frac{S_{AM'N'CH''G''}}{\cos\varphi}}{\frac{S_{AMNCUV}}{\cos\varphi}}=\frac{S_{AM'N'CH''G''}}{S_{\triangle AMNCUV}}=
=\frac{S_{\triangle ABCD}-S_{\triangle UDV}-S_{\triangle M'BN'}}{S_{ABCD}-2S_{\triangle MBN}}=\frac{s-\frac{1}{32}s-\frac{9}{32}s}{s-2\cdot\frac{1}{8}s}=\frac{11}{12}.
Следовательно,
S_{K'M'N'L'H'G'}=\frac{11}{12}S_{KMNLHG}=\frac{1}{12}S.