8092. Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (ортоцентрический тетраэдр) тогда и только тогда, когда равны произведения косинусов противоположных двугранных углов тетраэдра.
Решение. Необходимость. Пусть тетраэдр ABCD
— ортоцентрический. Тогда
AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}
(см. задачу 7275).
Если двугранные углы при рёбрах AB
, CD
, AD
и BC
равны \alpha
, \beta
, \gamma
и \mu
соответственно, то по теореме Бретшнейдера
AB^{2}+CD^{2}+2AB\cdot CD\ctg\alpha\ctg\beta=AD^{2}+BC^{2}+2AD\cdot BC\ctg\gamma\ctg\mu
(см. задачу 8091). Поэтому
AB\cdot CD\ctg\alpha\ctg\beta=AD\cdot BC\ctg\gamma\ctg\mu,
а так как по теореме синусов для тетраэдра
\frac{AB\cdot CD}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{AD\cdot BC}{\sin\gamma\sin\mu},
то
\cos\alpha\cos\beta=\cos\gamma\cos\mu.
Достаточность. Пусть двугранные углы при рёбрах AB
, BC
, AD
и BC
тетраэдра ABCD
равны \alpha
, \beta
, \gamma
и \mu
соответственно и при этом \cos\alpha\cos\beta=\cos\gamma\cos\mu
.
По теореме синусов для тетраэдра
\frac{AB\cdot CD}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{AD\cdot BC}{\sin\gamma\sin\mu}
(см. задачу 7999). Поэтому
AB\cdot CD\ctg\alpha\ctg\beta=AD\cdot BC\ctg\gamma\ctg\mu,
По теореме Бретшнейдера
AB^{2}+CD^{2}+2AB\cdot CD\ctg\alpha\ctg\beta=AD^{2}+BC^{2}+2AD\cdot BC\ctg\gamma\ctg\mu.
Значит,
AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}.
Аналогично,
AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}.
Поэтому
AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}.
Следовательно, тетраэдр ABCD
— ортоцентрический.