8319. Основанием треугольной пирамиды SABC
является правильный треугольник ABC
со стороной 5. Боковое ребро SC
перпендикулярно плоскости основания и равно 12. Сфера, центр O
которой лежит в плоскости SBC
, касается рёбер SA
, AB
и AC
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Найдите AA_{1}
, расстояние от точки O
до ребра BC
и радиус сферы.
Ответ. \frac{15}{4}
, \frac{5}{2}
, \frac{5\sqrt{7}}{4}
.
Решение. Плоскость BSC
проходит через прямую SC
, перпендикулярную плоскости ABC
, значит, эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710). Следовательно, перпендикуляр OE
, опущенный из точки O
плоскости BSC
на прямую BC
пересечения плоскостей, есть перпендикуляр к плоскости ABC
(см. задачу 7712). Тогда EB_{1}
— ортогональная проекция наклонной OB_{1}
к плоскости ABC
, а так как OB_{1}\perp AB
(как радиус, проведённый в точку касания сферы с прямой AB
), то по теореме о трёх перпендикулярах EB_{1}\perp AB
. Аналогично EC_{1}\perp AC
.
Поскольку OB_{1}=OC_{1}
(как радиусы сферы), прямоугольные треугольники OB_{1}E
и OC_{1}E
равны по гипотенузе и катету, значит, EB_{1}=EC_{1}
. Тогда прямоугольные треугольники BB_{1}E
и CC_{1}E
также равны по катету и противолежащему острому углу (\angle B_{1}BE=\angle C_{1}CE=60^{\circ}
), поэтому BE=CE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}
.
Пусть CH
— высота правильного треугольника ABC
. Тогда EB_{1}
средняя линия треугольника BCH
, значит,
BB_{1}=HB_{1}=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{4}AB=\frac{5}{4},~AB_{1}=AB-BB_{1}=5-\frac{5}{4}=\frac{15}{4},
а так как AA_{1}
и AB_{1}
— отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки, то AA_{1}=AB_{1}=\frac{15}{4}
.
Пусть K
— проекция точки O
на ребро SC
. Обозначим OE=x
, OA_{1}=OB_{1}=OC_{1}=R
. Тогда
KC=OE=x,~SK=SC-KC=12-x,~OK=CE=\frac{5}{2},~
SO^{2}=SK^{2}+OK^{2}=(12-x)^{2}+\frac{25}{4},
Из прямоугольных треугольников BB_{1}E
и OB_{1}E
находим, что
B_{1}E=BB_{1}\sqrt{3}=\frac{5}{4}\cdot\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{4},~R^{2}=OB_{1}^{2}=B_{1}E^{2}+OE^{2}=\frac{75}{16}+x^{2},
а из прямоугольных треугольников ASC
и A_{1}SO
—
SA=\sqrt{AC^{2}+SC^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13,
SO^{2}=SA_{1}^{2}+OA_{1}^{2}=(SA-AA_{1})^{2}+R^{2}=\left(13-\frac{15}{4}\right)^{2}+\frac{75}{16}+x^{2}=\frac{361}{4}+x^{2}.
Значит,
(12-x)^{2}+\frac{25}{4}=\frac{361}{4}+x^{2},
откуда OE=x=\frac{5}{2}
. Следовательно,
R=OB_{1}=\sqrt{OE^{2}+B_{1}E^{2}}=\sqrt{x^{2}+\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{75}{16}}=\frac{5\sqrt{7}}{4}.