8413. В правильном тетраэдре ABCD
с ребром a
точка M
— середина AB
, K
— середина CD
. Найдите угол и расстояние между прямыми CM
и BK
. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок CM
и BK
?
Ответ. \varphi=\arccos\frac{2}{3}
, d=\frac{a}{\sqrt{10}}
, CX:MX=BY:YK=3:2
.
Решение. Первый способ. Пусть P
— вершина прямоугольника DOMP
. Тогда плоскость APB
перпендикулярна прямой CM
. Пусть KL
— перпендикуляр к PM
. Тогда KL
— перпендикуляр к плоскости APB
, а BL
— ортогональная проекция прямой BK
на эту плоскость. Значит (см. задачу 8406), расстояние d
между прямыми CM
и BK
равно перпендикуляру MH
к прямой BL
, а угол \varphi
между прямыми CM
и BK
дополняет до 90^{\circ}
угол между прямой KB
и её ортогональной проекций BL
на плоскость APB
.
Пусть N
— середина высоты DO
тетраэдра ABCD
. Тогда KN
— средняя линия прямоугольного треугольника COD
, поэтому KN\parallel DO\parallel PM
и KN=\frac{1}{2}DO=\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}
. Отрезок MH
— высота прямоугольного треугольника BML
с катетами
BM=\frac{a}{2},~LM=KN=\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}
и гипотенузой
BL=\sqrt{BM^{2}+LM^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{6}}=\frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}.
Следовательно (см. задачу 1967)
d=MH=\frac{BM\cdot LM}{BL}=\frac{\frac{a}{2}\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}}=\frac{a}{\sqrt{10}},
а так как KL
— средняя линия трапеции CDPM
, то
KL=\frac{1}{2}(DP+CM)=\frac{1}{2}(OM+CM)=\frac{1}{2}\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Следовательно,
\cos\varphi=\sin(90^{\circ}-\varphi)=\sin\angle KBL=\frac{KL}{BK}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}.
Пусть XY
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых CM
и BK
(точка X
на CM
, точка Y
на BK
). Тогда MXYH
— прямоугольник. Тогда (см. задачу 1946)
\frac{BY}{YK}=\frac{BH}{HL}=\frac{BM^{2}}{LM^{2}}=\frac{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}{\left(\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2}}=\frac{3}{2}.
Поскольку треугольник BYH
подобен треугольнику BKL
с коэффициентом k=\frac{BH}{BL}=\frac{3}{5}
, то
XM=YH=kKL=\frac{3}{5}KL=\frac{3}{5}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{5}.
Следовательно,
\frac{CX}{XM}=\frac{CX}{YH}=\frac{CM-XM}{XM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a\sqrt{3}}{5}}{\frac{a\sqrt{3}}{5}}=\frac{3}{2}.
Примечание. Другие способы см. в задаче 8412.