9095. Основание пирамиды ABCD
— правильный треугольник ABC
. Известно, что \angle BAD=\angle CBD=\angle ACD
. Докажите, что пирамида правильная.
Решение. Обозначим AD=x
, BD=y
, CD=z
, \angle BAD=\angle CBD=\angle ACD=\alpha
, \angle CAD=\varphi
.
Предположим, что x\gt y\gt z
. Рассмотрим треугольник BDC
. Из неравенства y\gt z
следует, что \varphi\gt\alpha
(см. задачу 3499). Рассмотрим треугольники ADC
и BDC
. Из неравенства y\lt x
следует, что \varphi\lt\alpha
(см. задачу 3606). Противоречие.
Предположим, что x=y\gt z
. Тогда треугольники ADC
и BDC
равны по трём сторонам, поэтому \varphi=\alpha
. Следовательно, z=x
. Противоречие.
Таким образом, x=y=z
. Следовательно, пирамида правильная. В случаях, когда отрезки x
, y
и z
упорядочены иначе, рассуждения аналогичны.