9095. Основание пирамиды ABCD
— правильный треугольник ABC
. Известно, что \angle BAD=\angle CBD=\angle ACD
. Докажите, что пирамида правильная.
Решение. Обозначим AD=x
, BD=y
, CD=z
, \angle BAD=\angle CBD=\angle ACD=\alpha
, \angle CAD=\varphi
.
Предположим, что x\gt y\gt z
. Рассмотрим треугольник BDC
. Из неравенства y\gt z
следует, что \varphi\gt\alpha
(см. задачу 3499). Рассмотрим треугольники ADC
и BDC
. Из неравенства y\lt x
следует, что \varphi\lt\alpha
(см. задачу 3606). Противоречие.
Предположим, что x=y\gt z
. Тогда треугольники ADC
и BDC
равны по трём сторонам, поэтому \varphi=\alpha
. Следовательно, z=x
. Противоречие.
Таким образом, x=y=z
. Следовательно, пирамида правильная. В случаях, когда отрезки x
, y
и z
упорядочены иначе, рассуждения аналогичны.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1981, № 9, задача J-29, с. 271
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 10, с. 26, М770; 1983, № 3, с. 47, М770
Источник: Задачник «Кванта». — 1982, № 10, с. 26, М770
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 201, с. 29