9097. Докажите, что ортогональная проекция правильного тетраэдра на плоскость имеет наибольшую площадь, если эта плоскость параллельна противоположным рёбрам тетраэдра.
Указание. Примените теорему о площади ортогональной проекции фигуры (см. задачу 3018).
Решение. Пусть A
, B
, C
и D
— ортогональные проекции вершин правильного тетраэдра с ребром a
на некоторую плоскость. Предположим, что точка D
лежит внутри треугольника ABC
. Тогда ортогональная проекция тетраэдра — треугольник ABC
. Его площадь равна площади равностороннего треугольника со стороной a
, умноженной на косинус угла между плоскостью грани тетраэдра и плоскостью проекций (см. задачу 8093), а значит, не больше площади равностороннего треугольника со стороной a
, т. е. \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Пусть теперь точка D
лежит вне треугольника ABC
и при этом ортогональная проекция тетраэдра — четырёхугольник ABCD
. Тогда, если угол между диагоналями AC
и BD
равен \alpha
, то (см. задачу 3018)
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha\leqslant\frac{1}{2}AC\cdot BD\leqslant\frac{a^{2}}{2},
причём равенство достигается, если противоположные рёбра тетраэдра, соответствующие отрезкам AC
и BD
, перпендикулярны между собой и параллельны плоскости проекций. Осталось заметить, что \frac{a^{2}}{2}\gt\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
.