9098. Из точки в пространстве выходят четыре луча, образующие друг с другом равные углы. Найдите эти углы.
Ответ. \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)
.
Указание. В качестве данной точки возьмите центр правильного тетраэдра.
Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD
. Пусть O
— его центр. Тогда лучи OA
, OB
, OC
и OD
удовлетворяют условию задачи, при этом отрезки OA
, OB
, OC
и OD
— радиусы сферы, описанной около тетраэдра.
Пусть ребро тетраэдра равно a
. Тогда высота тетраэдра равна a\sqrt{\frac{2}{3}}
(см. задачу 7040), а радиус описанной сферы равен \frac{3}{4}a\sqrt{\frac{2}{3}}
(см. задачу 7047). В треугольнике OAB
известны стороны: OA=OB=\frac{3}{4}a\sqrt{\frac{2}{3}}
, AB=a
. По теореме косинусов
\cos\angle AOB=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2OA\cdot OB}=\frac{\frac{3}{8}a^{2}+\frac{3}{8}a^{2}-a^{2}}{2\cdot\frac{3}{8}a^{2}}=-\frac{1}{3}.
Следовательно,
\angle AOB=\angle AOC=\angle AOD=\angle BOC=\arccos\left(-\frac{1}{3}\right).