9103. (Сфера 24 точек.) Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре окружности девяти точек всех граней лежат на одной сфере.
Решение. Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер ортоцентрического тетраэдра, равны (см. задачу 7996), пересекаются в одной точке и делятся ею пополам (см. задачу 7103). Пусть это точка O
, а все эти отрезки равны 2a
. Тогда середины всех рёбер тетраэдра удалены от O
на расстояние a
, т. е. лежат на сфере с центром O
и радиусом a
. Сечение тетраэдра плоскостью любой грани есть окружность девяти точек этой грани. Следовательно, эти окружности лежат на рассматриваемой сфере.
На каждой такой окружности лежат середины сторон грани тетраэдра, основания высот этой грани и середины отрезков от ортоцентра до вершины. Всех таких точек 4\cdot9-6-6=24
(середины и основания высот каждого ребра принадлежат двум граням).