9147. Основание пирамиды KLMN
— прямоугольный треугольник LMN
с прямым углом при вершине M
и катетом MN=8
. Высота пирамиды проходит через точку L
и равна 24. Найдите тангенс угла между плоскостью основания пирамиды и плоскостью, проходящей через прямую LM
и середину ребра KN
.
Ответ. 3.
Решение. По теореме о трёх перпендикулярах KM\perp MN
(см. задачу 7707). Медиана MP
прямоугольного треугольника KMN
равна половине гипотенузы KN
, медиана LP
прямоугольного треугольника KLN
также равна половине гипотенузы KN
. Значит, треугольник LPM
— равнобедренный.
Пусть PH
— перпендикуляр, опущенный из точки P
на ребро LN
. Тогда PH
— средняя линия прямоугольного треугольника KLN
, значит, PH=\frac{1}{2}KL=12
и PH\parallel KL
, а так как KL
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, то PH
— также перпендикуляр к этой плоскости (см. задачу 7705).
Проведём высоту PQ
равнобедренного треугольника LPM
. По теореме о трёх перпендикулярах HQ\perp LM
, поэтому PQH
— линейный угол двугранного угла между плоскостями LPM
и LMN
, а так как Q
— середина LM
, то HQ
— средняя линия треугольника LMN
. Значит, HQ=\frac{1}{2}MN=4
. Следовательно,
\tg\angle PQH=\frac{PH}{HQ}=\frac{12}{4}=3.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2012