9148. Основание пирамиды ABCD
— прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Высота пирамиды проходит через точку B
. Найдите угол между прямой BD
и прямой, проходящей через середины рёбер BC
и AD
, если известно, что BD=AC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. По теореме о трёх перпендикулярах DC\perp AC
(см. задачу 7707). Медиана CM
прямоугольного треугольника ACD
равна половине гипотенузы AD
, медиана BM
прямоугольного треугольника ABD
также половине гипотенузы AD
. Значит, треугольник BCM
— равнобедренный. Его высота MN
является медианой, поэтому N
— середина BC
.
Пусть ME
— перпендикуляр, опущенный из точки M
на ребро AB
. Тогда ME
— средняя линия прямоугольного треугольника ABD
, значит, ME=\frac{1}{2}DB
и ME\parallel BD
, а так как DB
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, то ME
— также перпендикуляр к этой плоскости (см. задачу 7705).
Точки E
и N
— середины сторон AB
и BC
треугольника ABC
, значит, NE
— средняя линия треугольника ABC
. Поэтому NE=\frac{1}{2}AC
. Поскольку ME\parallel BD
, угол между скрещивающимися прямыми BD
и MN
равен углу между пересекающимися прямыми ME
и MN
, т. е. углу EMN
.
По условию задачи BD=AC
, поэтому ME=EN
, значит, прямоугольный треугольник MEN
— равнобедренный. Следовательно, \angle EMN=45^{\circ}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2012
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2.15, с. 20