9170. Основания ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— равносторонние треугольники. Отрезок, соединяющий центр O
основания ABC
с вершиной C_{1}
, перпендикулярен основаниям призмы.
а) Докажите, что плоскости ABC_{1}
и OCC_{1}
перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой AA_{1}
и плоскостью ABC_{1}
, если боковое ребро призмы равно стороне основания.
Ответ. \arccos\frac{1}{\sqrt{3}}
.
Решение. а) Пусть O
— центр грани ABC
, M
— середина ребра AB
. Прямая AB
перпендикулярна двум пересекающимся прямым C_{1}O
и CM
плоскости OCC_{1}
, значит, прямая AB
перпендикулярна этой плоскости. Плоскость ABC_{1}
проходит через прямую AB
, перпендикулярную плоскости OCC_{1}
, следовательно, эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710).
б) Поскольку AA_{1}\parallel CC_{1}
, угол \alpha
между прямой AA_{1}
и плоскостью ABC_{1}
равен углу между этой плоскостью и прямой CC_{1}
. Все рёбра треугольной пирамиды ABCC_{1}
равны, значит, это правильный тетраэдр, а угол прямой CC_{1}
и плоскостью ABC_{1}
— это угол ребра правильного тетраэдра с плоскостью его грани. Следовательно, \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}
(см. задачу 7044).