9172. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно AD
и AB
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
а) Докажите, что косинус угла между прямыми D_{1}M
и A_{1}N
равен \frac{4}{5}
.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если ребро куба равно 6.
Ответ. 4.
Решение. а) Пусть K
— середина ребра CD
. Тогда D_{1}K\parallel A_{1}N
, поэтому угол между скрещивающимися прямыми D_{1}M
и A_{1}N
равен углу между пересекающимися прямыми D_{1}M
и D_{1}K
, т. е. углу MD_{1}K
.
Обозначим AB=a
. Тогда MK=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}
. По теореме Пифагора
D_{1}K=D_{1}M=\sqrt{DD_{1}^{2}+DM^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.
Из равнобедренного треугольника MD_{1}K
находим, что
\cos\angle MD_{1}K=\frac{D_{1}M^{2}+D_{1}K^{2}-MK^{2}}{2D_{1}M\cdot D_{1}K}=\frac{\frac{5a^{2}}{4}+\frac{5a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{4}{5}.
Что и требовалось доказать.
б) Прямая A_{1}N
параллельна плоскости MD_{1}K
, так как она параллельна прямой D_{1}K
, лежащей в этой плоскости. Значит, расстояние между прямыми A_{1}N
и D_{1}M
равно расстоянию от любой точки прямой A_{1}N
до плоскости MD_{1}K
(см. задачу 7889). Будем искать расстояние от точки N
до этой плоскости.
Пусть P
— точка пересечения KM
и AB
, а Q
— точка пересечения прямых KM
и DN
. Из равенства треугольников APM
и DKM
получаем, что AP=DK=\frac{a}{2}
. Тогда PN=AP+AN=a
. Треугольник DQK
подобен треугольнику NQP
с коэффициентом \frac{DK}{PN}=\frac{1}{2}
, значит, \frac{DQ}{QN}=\frac{1}{2}
. Отрезок ND
делится в точке Q
плоскостью MD_{1}K
в отношении \frac{1}{2}
, считая от точки D
, поэтому расстояние от точки N
до этой плоскости вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки D
(см. задачу 9180).
Пусть F
— точка пересечения диагонали BD
квадрата ABCD
с отрезком KM
. Тогда F
— середина KM
, D_{1}F
— высота равнобедренного треугольника DD_{1}F
, а расстояние от точки D
до плоскости MD_{1}K
равно высоте DH
прямоугольного треугольника DD_{1}F
с катетами
DD_{1}=a,~DF=\frac{1}{4}BD=\frac{a\sqrt{2}}{4}
и гипотенузой
D_{1}F=\sqrt{DD_{1}^{2}+DF^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{8}}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}.
Тогда
DH=\frac{DD_{1}\cdot DF}{D_{1}F}=\frac{a\cdot\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\frac{3a\sqrt{2}}{4}}=\frac{a}{3}.
Следовательно, искомое расстояние равно
\frac{2a}{3}=\frac{2\cdot6}{3}=4.