9213. Основание пирамиды SABCD
— прямоугольник ABCD
. Боковое ребро SD
перпендикулярно плоскости основания.
а) Докажите, что прямые SC
и AD
перпендикулярны.
б) Пусть M
— середина высоты пирамиды. Найдите расстояние от точки B
до плоскости ACM
, если AB=8
, BC=6
, а синус угла между плоскостью ACM
и плоскостью основания пирамиды равен \frac{5}{6}
.
Ответ. 4.
Решение. а) Поскольку SD
— перпендикуляр к плоскости ABCD
, ребро DC
— ортогональная проекция ребра SC
на эту плоскость, а так как DC\perp BC
, то по теореме о трёх перпендикулярах BC\perp SC
. Тогда ребро AD
, параллельное BC
, также перпендикулярно SC
.
б) Пусть O
— центр прямоугольника ABCD
. Отрезок BD
делится в точке O
плоскостью AMC
пополам, поэтому расстояние от точки B
до плоскости AMC
равно расстоянию до этой плоскости от точки D
(см. задачу 9180).
Пусть DP
— высота прямоугольного треугольника ADC
, а DH
— высота прямоугольного треугольника MDP
. По теореме о трёх перпендикулярах MP\perp AC
, поэтому DPM
— линейный угол двугранного угла между плоскостью ACM
и плоскостью основания пирамиды. По условию задачи \sin\angle DPM=\frac{5}{6}
.
Прямая DH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым MP
и AC
плоскости AMC
, значит, DH
— перпендикуляр к этой плоскости, а расстояние от точки D
до плоскости AMC
равно DH
.
Из прямоугольных треугольников ADC
и HDP
находим, что
DP=\frac{AD\cdot CD}{AC}=\frac{6\cdot8}{10}=\frac{24}{5},
(см. задачу 1967),
DH=DP\sin\angle DMP=\frac{24}{5}\cdot\frac{5}{6}=4.