9214. Основание ABCD
правильной четырёхугольной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадрат ABCD
. Точка M
— центр боковой грани BCC_{1}B_{1}
.
а) Докажите, что плоскость A_{1}D_{1}M
делит диагональ AC_{1}
в отношении 2:1
, считая от точки A
.
б) Найдите расстояние от точки M
до прямой BD_{1}
, если сторона основания призмы равна 6, а боковое равно 3.
Ответ. \sqrt{5}
.
Решение. а) Плоскости A_{1}D_{1}M
и BB_{1}C_{1}C
проходят через параллельные прямые A_{1}D_{1}
и B_{1}C_{1}
соответственно и имеют общую точку M
, значит, они пересекаются по прямой l
, проходящей через эту точку параллельно B_{1}C_{1}
(см. задачу 8004). Пусть прямая l
пересекает ребро CC_{1}
в точке L
. Тогда L
— середина ребра CC_{1}
.
Поскольку D_{1}
и L
— общие точки плоскостей AA_{1}C_{1}C
и A_{1}D_{1}M
, эти плоскости пересекаются по прямой A_{1}L
. Пусть P
— точка пересечения прямых A_{1}L
и AC_{1}
. Тогда P
— точка пересечения прямой AC_{1}
с плоскостью A_{1}D_{1}M
.
Из подобия треугольников APA_{1}
и C_{1}PL
получаем, что
AP:PC_{1}=AA_{1}:C_{1}L=CC_{1}:C_{1}L=2:1.
б) Пусть H
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на прямую BD_{1}
. Тогда расстояние от точки M
до этой прямой равно MH
, а так как MH
— средняя линия треугольника BQC_{1}
, то MH
вдвое меньше C_{1}Q
.
В прямоугольном треугольнике BC_{1}D_{1}
известно, что
BC_{1}=\sqrt{BC^{2}+CC_{1}^{2}}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5},~C_{1}D_{1}=6,
BD_{1}=\sqrt{C_{1}D_{1}^{2}+BC_{1}^{2}}=\sqrt{36+45}=9.
Значит,
C_{1}Q=\frac{C_{1}D_{1}\cdot BC_{1}}{BD_{1}}=\frac{6\cdot3\sqrt{5}}{9}=2\sqrt{5}
(см. задачу 1967). Следовательно,
MH=\frac{1}{2}C_{1}Q=\sqrt{5}.