9215. Дана треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основаниями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
. Точка M
— центр боковой грани BCC_{1}B_{1}
.
а) Постройте точку пересечения прямой A_{1}M
с плоскостью ABC
.
б) Найдите расстояние от точки M
до прямой AB_{1}
, если призма прямая, ABC
— прямоугольный треугольник с прямым углом C
, а диагонали боковых граней AA_{1}B_{1}B
и BB_{1}C_{1}C
равны 17 и 15 соответственно.
Ответ. \frac{60}{17}
.
Решение. а) Поскольку AA_{1}\parallel BB_{1}
, прямая AA_{1}
параллельна плоскости BB_{1}C_{1}C
, поэтому плоскости AA_{1}M
и BB_{1}C_{1}C
пересекаются по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно AA_{1}
(см. задачу 8003), а значит, и CC_{1}
.
Пусть прямая l
пересекает ребро BC
в точке N
. Тогда N
— середина этого ребра. Пусть прямые A_{1}M
и AN
, лежащие в плоскости AA_{1}M
, пересекаются в точке D
. Тогда D
лежит и на прямой A_{1}M
, и в плоскости ABC
. Следовательно, D
— точка пересечения прямой AM_{1}
с плоскостью ABC
. (Поскольку MN
— средняя линия треугольника ADA_{1}
, отрезок AD
вдвое больше медианы AN
треугольника BCD
.)
б) Отрезок BC
— ортогональная проекция наклонной B_{1}C
на плоскость ABC
, а BC\perp AC
, значит, по теореме о трёх перпендикулярах B_{1}C\perp AC
, т. е. треугольник ACB_{1}
прямоугольный.
Пусть H
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точек M
и C
на AB_{1}
. Тогда расстояние от точки M
до прямой AB_{1}
равно MH
, а так как MH
— средняя линия треугольника CQB_{1}
, то MH
вдвое меньше CQ
.
По теореме Пифагора
AC=\sqrt{AB_{1}^{2}-CB_{1}^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8,
значит,
CQ=\frac{AC\cdot BC_{1}}{AB_{1}}=\frac{8\cdot15}{17}=\frac{120}{17}.
(см. задачу 1967). Следовательно,
MH=\frac{1}{2}CQ=\frac{60}{17}.