9223. Точка K
лежит на ребре AD
треугольной пирамиды ABCD
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью \alpha
, проходящей через точку K
параллельно рёбрам AB
и CD
.
б) Пусть M
— точка пересечения плоскости \alpha
с ребром BC
. Найдите угол между прямыми AB
и CD
, если K
— середина ребра AD
, AB=8
, CD=6
, KM=5
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. а) Через прямую AB
, параллельную плоскости \alpha
, проходит плоскость ABD
, имеющая с \alpha
общую точку K
. Значит, прямая l
пересечения этих плоскостей проходит через точку K
параллельно AB
(см. задачу 8003). Пусть N
— точка пересечения прямой l
с ребром BD
. Тогда плоскость \alpha
пересекает грань ABD
пирамиды по отрезку KN
. Аналогично строятся отрезки KL
и MN
пересечения плоскости \alpha
с гранями ACD
и BCD
соответственно. Следовательно, искомое сечение — параллелограмм KLMN
.
б) Отрезки KN
и MN
— средние линии треугольников ABD
и BCD
, поэтому
KN=\frac{1}{2}AB=4,~MN=\frac{1}{2}CD=3.
Треугольник MNK
прямоугольный, так как
KM^{2}=25=16+9=KN^{2}+MN^{2}
(см. задачу 1972), а KLMN
— прямоугольник. Значит, KN\perp MN
, а так как AB\parallel KN
и CD\parallel MN
, то AB\perp CD
. Следовательно, угол между прямыми AB
и CD
равен 90^{\circ}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2.2, с. 18