9223. Точка
K
лежит на ребре
AD
треугольной пирамиды
ABCD
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью
\alpha
, проходящей через точку
K
параллельно рёбрам
AB
и
CD
.
б) Пусть
M
— точка пересечения плоскости
\alpha
с ребром
BC
. Найдите угол между прямыми
AB
и
CD
, если
K
— середина ребра
AD
,
AB=8
,
CD=6
,
KM=5
.
Ответ.
90^{\circ}
.
Решение. а) Через прямую
AB
, параллельную плоскости
\alpha
, проходит плоскость
ABD
, имеющая с
\alpha
общую точку
K
. Значит, прямая
l
пересечения этих плоскостей проходит через точку
K
параллельно
AB
(см. задачу 8003). Пусть
N
— точка пересечения прямой
l
с ребром
BD
. Тогда плоскость
\alpha
пересекает грань
ABD
пирамиды по отрезку
KN
. Аналогично строятся отрезки
KL
и
MN
пересечения плоскости
\alpha
с гранями
ACD
и
BCD
соответственно. Следовательно, искомое сечение — параллелограмм
KLMN
.
б) Отрезки
KN
и
MN
— средние линии треугольников
ABD
и
BCD
, поэтому
KN=\frac{1}{2}AB=4,~MN=\frac{1}{2}CD=3.

Треугольник
MNK
прямоугольный, так как
KM^{2}=25=16+9=KN^{2}+MN^{2}

(см. задачу 1972), а
KLMN
— прямоугольник. Значит,
KN\perp MN
, а так как
AB\parallel KN
и
CD\parallel MN
, то
AB\perp CD
. Следовательно, угол между прямыми
AB
и
CD
равен
90^{\circ}
.