9241. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра AB
параллельно прямым SA
и BC
.
б) Найдите расстояние между прямыми AB
и SC
, если сторона основания равна 30, а боковое ребро равно 5\sqrt{34}
.
Ответ. 24.
Решение. а) Прямая SA
параллельна секущей плоскости, а плоскость ASB
проходит через эту прямую и имеет с секущей плоскостью общую точку M
— середину ребра AB
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, параллельной SA
(см. задачу 8003). Пусть L
— точка пересечения прямой l
с ребром SB
. По теореме Фалеса L
— середина SB
. Аналогично докажем, что секущая плоскость пересекает рёбра SC
и CD
в их серединах K
и N
соответственно. Таким образом, сечение пирамиды — равнобедренная трапеция KLMN
.
б) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на медиану SN
грани CSD
. Прямая AB
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SN
и MN
плоскости MCN
, значит, прямая AB
перпендикулярна этой плоскости, поэтому MH\perp AB
, и MH
— перпендикуляр к плоскости CSD
.
Прямая AB
параллельна плоскости CSD
, содержащей прямую SC
, поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми AB
и SC
равно расстоянию от любой точки прямой AB
до плоскости CSD
(см. задачу 7889), например, длине отрезка MH
.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Поскольку пирамида правильная, OH
— её высота. Из прямоугольных треугольников CSN
и SON
находим, что
SN=\sqrt{SC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{34})^{2}-15^{2}}=25,
SO=\sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{34})^{2}-(15\sqrt{2})^{2}}=20.
Записав площадь треугольника MSN
двумя способами, получим равенство \frac{1}{2}MN\cdot SO=\frac{1}{2}SN\cdot MH
, откуда находим, что
MH=\frac{MN\cdot SO}{SN}=\frac{30\cdot20}{25}=24.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6.2, с. 55