9260. В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек A
, B
, C
, D
, E
и F
. Известно, что отрезки AB
и DE
, BC
и EF
, CD
и FA
попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки попарно равны.
Решение. Первый способ. Заметим, что точки A
, B
и C
не лежат на одной прямой, так как иначе точки D
, E
и F
лежали бы на одной прямой, что невозможно, так как все шесть точек лежали бы в одной плоскости.
Пересекающиеся прямые AB
и BC
плоскости ABC
соответственно параллельны пересекающимся прямым DE
и EF
плоскости DEF
, значит, эти плоскости параллельны (см. задачу 8008). Отрезки параллельных прямых AF
и CD
, заключённые между параллельными плоскостями ABC
и DEF
, равны (см. задачу 7746), следовательно, AF=CD
. Аналогично AB=DE
и BC=EF
.
Второй способ. Сумма векторов \overrightarrow{AB}
, \overrightarrow{BC}
, \overrightarrow{CD}
, \overrightarrow{DE}
, \overrightarrow{EF}
и \overrightarrow{FA}
равна \overrightarrow{0}
, причём векторы \overrightarrow{AB}
, \overrightarrow{BC}
и \overrightarrow{CD}
некомпланарны. Векторы \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{DE}
коллинеарны, поэтому \overrightarrow{DE}=k_{1}\overrightarrow{AB}
, где k_{1}
— некоторое число. Аналогично \overrightarrow{EF}=k_{2}\overrightarrow{BC}
и \overrightarrow{FA}=k_{3}\overrightarrow{CD}
. Тогда
\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}=
=(1+k_{1})\overrightarrow{AB}+(1+k_{2})\overrightarrow{BC}+(1+k_{3})\overrightarrow{CD},
а так как векторы \overrightarrow{AB}
, \overrightarrow{BC}
и \overrightarrow{CD}
некомпланарны, то коэффициенты при каждом из слагаемых в этой сумме должны равняться нулю, т. е. k_{1}=k_{2}=k_{3}=-1
. Это означает равенство рассматриваемых отрезков.
Примечание. Условие расположения точек не в одной плоскости существенно. Действительно, если заданные шесть точек лежат в одной плоскости, то указанного равенства отрезков может и не быть. Например, «отрежем» от каждой вершины правильного треугольника со стороной 4 по правильному треугольнику со стороной 1 и получим шестиугольник ABCDEF
, в котором выполняется параллельность отрезков, но не выполняется их равенство.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2014-2015, XLI, окружной этап, 10 класс
Источник: Избранные задачи окружных олимпиад по математике в Москве / Сост. А. Д. Блинков. — М.: МЦНМО, 2015. — № 10.3, с. 123