9277. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
, высота пирамиды равна 2a\sqrt{3}
. Найдите
а) угол боковой грани с плоскостью основания;
б) угол бокового ребра с плоскостью основания;
в) расстояние между противоположными рёбрами;
г) угол между боковыми гранями;
д) радиус описанной сферы;
е) радиус вписанной сферы;
ж) угол между апофемой и соседней боковой гранью.
Ответ. а) \arctg12=\arccos\frac{1}{\sqrt{145}}=\arcsin\frac{12}{\sqrt{145}}
;
б) \arctg6=\arccos\frac{1}{\sqrt{37}}=\arcsin\frac{6}{\sqrt{37}}
; в) \frac{3a\sqrt{3}}{\sqrt{37}}
;
г) 2\arctg\frac{\sqrt{37}}{6\sqrt{3}}=\arccos\frac{71}{145}
; д) \frac{37a}{12\sqrt{3}}
; е) \frac{a(\sqrt{145}-1)}{4\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{145}-1)}{72}
; ж) \arcsin\frac{18}{145}
.
Указание. См. задачи 8106, 8107, 8108, 8109 и 8110.
Источник: Школьные материалы. — Контрольная работа «Элементы правильных пирамид». Вариант 5. Задача 1