9287. Дана треугольная пирамида ABCD
с вершиной D
. Все боковые рёбра равны 5, а основание — треугольник со сторонами AC=BC=2\sqrt{14}
, AB=2\sqrt{7}
. Найдите:
а) расстояние между прямой AB
и высотой DH
пирамиды;
б) расстояние между прямыми AB
и CD
.
Ответ. а) 3; б) \frac{21}{5}
.
Решение. а) Пусть M
— середина ребра AB
. Тогда CM
и DM
— высоты равнобедренных треугольников ACB
и ADB
. Из прямоугольного треугольника AMC
находим, что
CM=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{14})^{2}-(\sqrt{7})^{2}}=7,~
Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, основание H
высоты DH
пирамиды — центр окружности, описанной около треугольника ABC
(см. задачу 7163). Обозначим \angle CAB=\alpha
, R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда
\sin\alpha=\frac{CM}{AC}=\frac{7}{2\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{4},~\tg\alpha=\frac{CM}{AM}=\frac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7},
CH=R=\frac{BC}{2\sin\alpha}=\frac{2\sqrt{14}}{2\cdot\frac{\sqrt{14}}{4}}=4.
Поскольку \tg\alpha=\sqrt{7}\gt1
, угол при основании AB
равнобедренного треугольника ABC
больше 45^{\circ}
. Значит, этот треугольник остроугольный, и поэтому точка H
лежит внутри треугольника, а так как треугольник равнобедренный, точка H
лежит на его высоте CM
. Следовательно,
MH=CM-CH=7-4=3.
При этом MH\perp AB
и MH\perp DH
, т. е. MH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и DH
, значит, расстояние между этими прямыми равно длине отрезка MH
, т. е. 4.
б) Прямая AB
перпендикулярна пересекающимся прямым DM
и CM
плоскости CMD
, значит, прямая AB
перпендикулярна высоте MP
треугольника CMD
. Следовательно, отрезок MP
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
.
Из прямоугольного треугольника CHD
находим, что
DH=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{25-16}=3.
Следовательно (см. задачу 1967),
MP=\frac{CM\cdot DH}{CD}=\frac{7\cdot3}{5}=\frac{21}{5}.