9288. Дана треугольная пирамида ABCD
с вершиной D
. Все боковые рёбра равны 65, а основание — треугольник со сторонами AC=BC=30
, AB=48
. Найдите:
а) расстояние между прямой AB
и высотой DH
пирамиды;
б) расстояние между прямыми AB
и CD
.
Ответ. 7; \frac{216}{13}
.
Решение. а) Пусть M
— середина ребра AB
. Тогда CM
и DM
— высоты равнобедренных треугольников ACB
и ADB
. Из прямоугольного треугольника AMC
находим, что
CM=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=\sqrt{30^{2}-24^{2}}=18,~
Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, основание H
высоты DH
пирамиды — центр окружности, описанной около треугольника ABC
(см. задачу 7163). Обозначим \angle CAB=\alpha
, R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда
\sin\alpha=\frac{CM}{AC}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5},~\tg\alpha=\frac{CM}{AM}=\frac{3}{4},
CH=R=\frac{BC}{2\sin\alpha}=\frac{30}{2\cdot\frac{3}{5}}=25.
Поскольку \tg\alpha=\frac{3}{4}\lt1
, угол при основании AB
равнобедренного треугольника ABC
меньше 45^{\circ}
. Значит, этот треугольник тупоугольный, и поэтому точка H
лежит вне треугольника, а так как треугольник равнобедренный, точка H
лежит на продолжении его высоты CM
. Следовательно,
MH=CH-CM=25-18=7.
При этом MH\perp AB
и MH\perp DH
, т. е. MH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и DH
, значит, расстояние между этими прямыми равно длине отрезка MH
, т. е. 7.
б) Прямая AB
перпендикулярна пересекающимся прямым DM
и CM
плоскости CMD
, значит, прямая AB
перпендикулярна высоте MP
треугольника CMD
. Следовательно, отрезок MP
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
.
Из прямоугольного треугольника CHD
находим, что
DH=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{65^{2}-25^{2}}=60.
Следовательно (см. задачу 1967),
MP=\frac{CM\cdot DH}{CD}=\frac{18\cdot60}{65}=\frac{216}{13}.