9289. Дана треугольная пирамида ABCD
с вершиной D
. Все боковые рёбра равны 15, а основание — треугольник со сторонами AC=BC=12
и углом 120^{\circ}
между ними. Найдите расстояние между прямой AB
и высотой DH
пирамиды, а также расстояние между прямыми AB
и CD
.
Ответ. 6; \frac{18}{5}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра AB
. Тогда CM
и DM
— высоты равнобедренных треугольников ACB
и ADB
. Из прямоугольного треугольника AMC
находим, что
CM=\frac{1}{2}BC=6,~BM=CM\sqrt{3}=6\sqrt{3}.
Тогда AB=2BM=12\sqrt{3}
.
Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, основание H
высоты DH
пирамиды — центр окружности, описанной около треугольника ABC
(см. задачу 7163). Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда
CH=R=\frac{AB}{2\sin120^{\circ}}=\frac{12\sqrt{3}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=12.
Поскольку треугольник тупоугольный, точка H
лежит вне треугольника, а так как треугольник равнобедренный, точка H
лежит на продолжении его высоты CM
. Следовательно,
MH=CH-CM=12-6=6.
При этом MH\perp AB
и MH\perp DH
, т. е. MH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и DH
, значит, расстояние между этими прямыми равно длине отрезка MH
, т. е. 6.
Прямая AB
перпендикулярна пересекающимся прямым DM
и CM
плоскости CMD
, значит, прямая AB
перпендикулярна высоте MP
треугольника CMD
. Следовательно, отрезок MP
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
.
Из прямоугольного треугольника CHD
находим, что
DH=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9.
Следовательно (см. задачу 1967),
MP=\frac{CM\cdot DH}{CD}=\frac{6\cdot9}{15}=\frac{18}{5}.