9315. Основание ABCD
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадрат ABCD
, боковые грани — ромбы, а ортогональная проекция вершины C_{1}
на плоскость основания совпадает с точкой пересечения диагоналей основания ABCD
.
а) Докажите, что AA_{1}\perp AC_{1}
.
б) Найдите расстояние между прямыми AA_{1}
и BC
, если AB=\sqrt{6}
.
Ответ. 2.
Решение. а) Обозначим через a
сторону квадрата ABCD
. Пусть O
— точка пересечения диагоналей основания ABCD
. Боковые грани параллелепипеда — ромбы, поэтому все боковые рёбра параллелепипеда также равны a
. Ортогональные проекции наклонных C_{1}C
, C_{1}B
, C_{1}A
и C_{1}D
на плоскость ABCD
равны, значит, равны и сами наклонные. Следовательно, C_{1}ABCD
— правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны a
.
Треугольник AC_{1}C
равен равнобедренному прямоугольному треугольнику ABC
по трём сторонам, значит, \angle AC_{1}C=\angle ABC=90^{\circ}
, а так как AA_{1}\parallel CC_{1}
, то AA_{1}\perp AC_{1}
.
б) Прямая AA_{1}
параллельна прямой CC_{1}
, лежащей в плоскости BB_{1}C_{1}C
, значит, CC_{1}
параллельна этой плоскости, и расстояние между прямыми AA_{1}
и BC
равно расстоянию от любой точки прямой AA_{1}
до плоскости BB_{1}C_{1}C
(см. задачу 7889), например, от точки A
. В то же время, центр O
основания ABCD
— середина наклонной AC
к плоскости BB_{1}C_{1}C
, значит, расстояние от точки A
до этой плоскости вдвое больше расстояния до неё от точки O
(см. задачу 9180).
Пусть C_{1}M
— медиана равностороннего треугольника BC_{1}C
, OH
— высота прямоугольного треугольника C_{1}OM
, проведённая из вершины прямого угла. Прямая OH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым C_{1}M
и BC
плоскости BB_{1}C_{1}C
, значит, OH
— перпендикуляр к этой плоскости, а расстояние до этой плоскости от точки O
равно длине этого перпендикуляра. Из прямоугольного треугольника C_{1}OM
находим, что
OH=\frac{OM\cdot C_{1}O}{C_{1}M}=\frac{\frac{a}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}.
Следовательно, искомое расстояние равно
2OH=2\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2.