9333. Через вершину D
треугольной пирамиды ABCD
и точку M
пересечения медиан грани ABC
проведена плоскость \alpha
, параллельная ребру AC
. На медиане DN
грани ACD
отмечена точка P
, причём DP:PN=2:3
.
а) Докажите, что прямая BP
проходит через середину отрезка DM
.
б) Найдите расстояние от точки C
до плоскости \alpha
, если объём пирамиды ABCD
равен 18, а площадь её сечения плоскостью \alpha
равна 4.
Ответ. 3.
Решение. а) Пусть прямые DM
и BP
, лежащие в плоскости BDN
пересекаются в точке Q
. Через точку M
проведём прямую ME
, параллельную BP
(точка E
лежит на DN
). По теореме о пропорциональных отрезках PE:EN=BM:MN=2:1
, значит,
PE=\frac{2}{3}PN=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}DN=\frac{2}{5}DN=DP.
Следовательно,
DQ:QN=DP:PE=1:1,
т. е. Q
— середина отрезка DM
.
б) Плоскость ABC
проходит через прямую AC
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с ней общую точку M
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку M
параллельно AC
(см. задачу 8003). Пусть эта прямая пересекает рёбра AB
и BC
в точках K
и L
соответственно. Тогда BL:BC=BK:AB=BM:BN=2:3
. Значит,
S_{\triangle KBL}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}S_{\triangle ABC}=\frac{4}{9}S_{\triangle ABC},
поэтому
V_{BCDK}=\frac{4}{9}V_{ABCD}=\frac{4}{9}\cdot18=8.
Пусть BH
— высота треугольной пирамиды BCDK
, опущенная из вершины B
. Тогда V_{BCDK}=\frac{1}{3}S_{\triangle DKL}\cdot BH
, откуда находим, что
BH=\frac{3V_{BCDK}}{S_{\triangle DKL}}=\frac{3\cdot8}{4}=6,
а так как наклонная BC
делится плоскостью DKL
в отношении CL:LB=1:2
, то расстояние от точки C
до плоскости DKL
вдвое меньше расстояния до этой плоскости от точки B
(см. задачу 9180), т. е. равно половине высоты DH
. Следовательно, искомое расстояние равно 3.