9334. Точка P
— середина медианы BK
основания ABC
треугольной пирамиды ABCD
.
а) Докажите, что плоскость \alpha
, проходящая через точку B
и середины рёбер AD
и CD
, делит отрезок DP
в отношении 2:1
, считая от вершины D
.
б) Найдите расстояние от вершины C
до плоскости \alpha
, если объём пирамиды ABCD
равен 16, а площадь её сечения плоскостью \alpha
равна 3.
Ответ. 4.
Решение. а) Пусть L
и N
— середины рёбер AD
и CD
соответственно. Тогда сечение пирамиды плоскостью \alpha
— треугольник BLN
. Отрезок LN
— средняя линия треугольника ACD
, поэтому точка M
пересечения DK
и LN
— середина DK
.
Пусть отрезки BM
и DP
, лежащие в плоскости BDK
пересекаются в точке Q
. Тогда Q
— точка пересечения плоскости \alpha
с отрезком DP
. Отрезки DP
и BM
— медианы треугольника BDK
, а Q
— точка их пересечения. Следовательно, DQ:QP=2:1
.
б) Точки L
и N
— середины боковых рёбер треугольной пирамиды ABCD
, поэтому
V_{DBLN}=\frac{DL}{DA}\cdot\frac{DN}{DC}\cdot V_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot16=4
(см. задачу 7244). Пусть DH
— высота треугольной пирамиды DBLN
, проведённая из вершины D
. Тогда
V_{DBLN}=\frac{1}{3}S_{\triangle BLN}\cdot DH,
откуда находим, что
DH=\frac{3V_{DBLN}}{S_{\triangle BLN}}=\frac{3\cdot4}{3}=4.
Отрезок CD
делится плоскостью \alpha
пополам, значит, точки C
и D
равноудалены от этой плоскости (см. задачу 9180). Следовательно, расстояние от точки C
до плоскости \alpha
равно длине перпендикуляра DH
, т. е. 4.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 8.7, с. 72