9339. Основание ABC
пирамиды SABC
— равносторонний треугольник. Высота пирамиды проходит через точку A
и равна стороне основания. Найдите двугранные углы при всех шести рёбрах пирамиды.
Ответ. Двугранные углы при рёбрах SA
и BC
равны 60^{\circ}
и \arctg\frac{2}{\sqrt{3}}
;
двугранные углы при рёбрах AB
и AC
равны 90^{\circ}
;
двугранные углы при рёбрах SB
и SC
равны \arccos\frac{1}{\sqrt{7}}
.
Решение. Заметим, что пирамида симметрична относительно плоскости, проходящей через её высоту SA
и середину M
ребра BC
. Значит, равны двугранные углы при рёбрах AB
и AC
, а также при рёбрах SB
и SC
.
Поскольку линейный угол двугранного угла при ребре SA
— это угол BAC
, то этот двугранный угол равен 60^{\circ}
.
Плоскость ASB
проходит через прямую SA
, перпендикулярную плоскости ABC
, поэтому эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710). Следовательно, двугранный угол пирамиды при ребре AB
, а значит, и при ребре AC
, равен 90^{\circ}
.
Обозначим SA=AB=a
. Линейный угол двугранного угла при ребре BC
— это угол SMA
. Из прямоугольного треугольника SAM
находим, что
\tg\angle SAM=\frac{SA}{AM}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Следовательно, двугранный угол при ребре BC
пирамиды равен \arctg\frac{2}{\sqrt{3}}
.
Пусть Q
— центр равностороннего треугольника ABC
, а QP
— перпендикуляр к SM
. Тогда QP
— перпендикуляр к плоскости BSC
. Пусть CK
— высота треугольника ABC
. Тогда CK
— перпендикуляр к плоскости ASB
. Значит, угол между плоскостями BSC
и ASB
равен углу между прямыми QP
и CK
, перпендикулярными эти плоскостям, т. е. острому углу CQP
прямоугольного треугольника CPQ
с прямым углом при вершине P
.
Из прямоугольного треугольника SAM
находим, что
CM=\sqrt{SA^{2}+AM^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{3}{4}a^{2}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.
Пусть AH
— высота этого треугольника. Тогда (см. задачу 1967)
AH=\frac{SA\cdot AM}{SM}=\frac{a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
Прямоугольные треугольники QMP
и AMH
подобны с коэффициентом \frac{QM}{AM}=\frac{1}{3}
, поэтому
PQ=\frac{1}{3}AH=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{a}{\sqrt{21}}.
Из прямоугольного треугольника CPQ
находим, что
\cos\angle CQP=\frac{PQ}{CQ}=\frac{\frac{a}{\sqrt{21}}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{7}}.
Следовательно, двугранный угол пирамиды при ребре SB
, а значит, и при ребре SC
, равен \arccos\frac{1}{\sqrt{7}}
.