9340. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
сторона AB
основания ABCDEF
равна \frac{8}{\sqrt{3}}
, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Плоскость \alpha
проходит через прямую CF
и перпендикулярна плоскости боковой грани DSE
.
а) Докажите, что плоскость \alpha
делит боковое ребро SD
в отношении 3:1
, считая от точки S
.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S
, а основанием — сечение пирамиды SABCDEF
плоскостью \alpha
.
Ответ. 44.
Решение. а) Пусть O
— центр основания пирамиды, K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на медиану SP
треугольника DSE
. Прямая OK
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SP
и DE
плоскости DSE
, значит, OK
— перпендикуляр к этой плоскости. Плоскость, проходящая через прямые CF
и OK
, содержит прямую OK
, перпендикулярную плоскости DSE
, значит, плоскость CFK
перпендикулярна плоскости DSE
. Следовательно, это и есть плоскость \alpha
(см. задачу 7710).
Плоскости DSE
и \alpha
проходят через параллельные прямые DE
и CF
и имеют общую точку K
, значит, они пересекаются по прямой l
, проходящей через точку K
параллельно DE
(см. задачу 8004). Пусть прямая l
пересекает рёбра SD
и SE
в точках M
и N
соответственно. Тогда сечение пирамиды SABCDEF
плоскостью \alpha
— равнобедренная трапеция CMNF
.
Поскольку OP\perp DE
и SP\perp DE
, линейный угол двугранного угла при ребре DE
пирамиды SABCDEF
— это угол OSP
, т. е. острый угол прямоугольного треугольника SOP
. По условию задачи \angle OSP=60^{\circ}
, поэтому SP=2OP
, а так как OK
— высота треугольника SOP
, то KP=\frac{1}{2}OP
. Значит, \frac{KP}{SP}=\frac{1}{4}
. Следовательно, SK:KP=3:1
б) Пусть DE=AB=a
. Тогда
OP=\frac{a\sqrt{3}}{2},~CF=2a,~MN=\frac{3}{4}a,~OK=OP\sin60^{\circ}=\frac{3}{4}a,
а так как OK
— высота равнобедренной трапеции CMNF
, то
S_{CMNF}=\frac{1}{2}(CF+MN)\cdot OK=\frac{1}{2}\left(2a+\frac{3}{4}a\right)\cdot\frac{3}{4}a=\frac{33}{32}a^{2}.
Прямая SK
перпендикулярна двум пересекающимся прямым MN
и OK
плоскости \alpha
, значит, SK
— перпендикуляр к этой плоскости, т. е. SK
— высота пирамиды SCMNF
, а так как
SK=\frac{3}{4}SP=\frac{3}{4}\cdot2OP=\frac{3a\sqrt{3}}{4},
то
V_{SCMNF}=\frac{1}{3}S_{CMNF}\cdot SK=\frac{1}{3}\cdot\frac{33}{32}a^{2}\cdot\frac{3a\sqrt{3}}{4}=\frac{33a^{3}\sqrt{3}}{128}=\frac{33\left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^{3}\sqrt{3}}{128}=44.