9343. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно AD
и DC
треугольной пирамиды ABCD
. Точка P
лежит на прямой BD
, причём B
середина отрезка DP
.
а) Докажите, что плоскость MNP
делит ребро AB
в отношении 2:1
, считая от точки A
.
б) Найдите отношение объёмов частей, на которые плоскость MNP
разбивает пирамиду ABCD
.
Ответ. 7:11
.
Решение. а) Пусть K
— точка пересечения прямых PM
и AB
, лежащих в плоскости ABD
. Тогда K
— точка пересечения плоскости MNP
с ребром AB
. Отрезки AB
и PM
— медианы треугольника ABD
, а A
— точка их пересечения, следовательно, AK:KB=2:1
.
б) Из предыдущих рассуждений также вытекает, что PK:KM=2:1
. Пусть L
— точка пересечения плоскости MNP
с ребром BC
. Аналогично докажем, что CL:LB=PL:LN=2:1
. Тогда сечение пирамиды плоскостью MNP
— трапеция MKLN
с основаниями MN
и KL
.
Рассмотрим треугольную пирамиду PMND
с вершиной P
. Площадь её основания MND
в четыре раза меньше площади треугольника ADC
, а высота (т. е. расстояние от точки P
до плоскости ACD
) вдвое больше высоты пирамиды ABCD
, опущенной из вершины B
(см. задачу 9180). Следовательно,
V_{PMND}=\frac{1}{4}\cdot2V=\frac{1}{2}V,
где V
— объём пирамиды ABCD
. Тогда (см. задачу 7244)
V_{PKLB}=\frac{PB}{PD}\cdot\frac{PK}{PM}\cdot\frac{PL}{PN}\cdot V_{PMND}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{1}{9}V.
Значит, объём части пирамиды ABCD
, содержащей вершину B
, равен \frac{1}{2}V-\frac{1}{9}V=\frac{7}{18}V
. Следовательно, искомое отношение равно 7:11
.