9356. Дана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания ABCD
которой равна 4, высота пирамиды также равна 4, точка M
— середина ребра AD
. Найдите расстояние от точки C
до плоскости PMB
.
Ответ. \frac{16}{\sqrt{21}}
.
Решение. Пусть O
— центр квадрата ABCD
, N
— точка пересечения AC
и BM
. Поскольку BM
и AO
— медианы треугольника ABD
, а N
— точка их пересечения, то
ON=\frac{1}{3}AO=\frac{1}{3}OC,~\frac{ON}{CN}=\frac{1}{4}.
Значит, расстояние от точки C
до плоскости PMB
в четыре раза больше расстояния до этой плоскости от точки O
(см. задачу 9180).
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую BM
. Обозначим через \alpha
острый угол при вершине M
прямоугольного треугольника OMH
. Тогда
\ctg\alpha=\ctg\angle ABM=\frac{AB}{AM}=2,~\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}},
OH=OM\sin\alpha=\frac{1}{2}AB\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на PH
. Тогда OF\perp PH
и OF\perp BM
, значит, OF
— перпендикуляр к плоскости PMB
, и поэтому расстояние от точки O
до этой плоскости равно длине отрезка OF
. Из прямоугольного треугольника OPF
находим, что
PH=\sqrt{PO^{2}+OH^{2}}=\sqrt{16+\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{5}},
OF=\frac{OP\cdot OH}{PH}=\frac{4\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{5}}}=\frac{4}{\sqrt{21}}
(см. задачу 1967). Следовательно, расстояние от точки C
до плоскости PMB
равно \frac{16}{\sqrt{21}}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016