9361. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равны \sqrt{3}
. Найдите объём большей из частей, на которые разбивает призму плоскость, проходящая через ребро B_{1}C_{1}
и центр основания ABC
.
Ответ. \frac{19}{12}
.
Решение. Пусть O
— центр основания ABC
призмы. Прямая B_{1}C_{1}
параллельна плоскости ABC
, так как она параллельна прямой BC
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002). Тогда плоскость OB_{1}C_{1}
пересекается с плоскостью ABC
по прямой l
, параллельной BC
(см. задачу 8003), а сечение призмы плоскостью OB_{1}C_{1}
— трапеция.
Пусть M
и N
— точки пересечения прямой l
с боковыми рёбрами AB
и AC
соответственно, а P
— точка пересечения прямых B_{1}M
и AA_{1}
. Точка O
делит медиану AK
треугольника ABC
в отношении 2:1
, считая от вершины A
, значит, AM:MB=AN:NC=AO:OK=2:1
. Плоскость OB_{1}C_{1}
пересекает прямую AA_{1}
в точке P
. Из подобия треугольников AMP
и B_{1}MB
следует, что AP=2BB_{1}
, треугольная пирамида PAMN
подобна треугольной пирамиде PA_{1}B_{1}C_{1}
с коэффициентом \frac{2}{3}
.
Обозначим через V
— объём данной призмы. Тогда
V=S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}\cdot AA_{1}=\frac{A_{1}B_{1}^{2}\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot CC_{1}=\frac{(\sqrt{3})^{2}\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{3}=\frac{9}{4}.
Пусть V_{1}
и V_{2}
— объёмы треугольных пирамид PA_{1}B_{1}C_{1}
и PAMN
соответственно. Тогда
V_{1}=\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}\cdot PA_{1}=\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}\cdot3AA_{1}=S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}\cdot AA_{1}=V,
а так как пирамида MNCP
подобна пирамиде KLQP
с коэффициентом \frac{2}{3}
, то
V_{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\cdot V_{1}=\frac{8}{27}V.
Значит,
V_{1}-V_{2}=V-\frac{8}{27}V=\frac{19}{27}V\gt\frac{1}{2}V.
Следовательно, искомый объём большей части призмы равен
\frac{19}{27}V=\frac{19}{27}\cdot\frac{9}{4}=\frac{19}{12}.