9366. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
сторона основания AB
равна 6, а боковое ребро AA_{1}
равно 2\sqrt{2}
. На рёбрах AB
, A_{1}B_{1}
и B_{1}C_{1}
отмечены точки M
, N
и K
соответственно, причём AM=B_{1}N=C_{1}K=2
.
а) Пусть L
— точка пересечения плоскости MNK
с ребром AC
. Докажите, что MNKL
— квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK
.
Ответ. 15.
Решение. а) Заметим, что NB_{1}=\frac{1}{2}B_{1}K
, а \angle NB_{1}K=60^{\circ}
, значит, треугольник NB_{1}K
прямоугольный с прямым углом при вершине N
(см. задачу 2643), и поэтому прямая NK
параллельна высоте равностороннего треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, проведённой из вершины C_{1}
.
Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому плоскость MNK
пересекает их по параллельным прямым (см. задачу 8009). Значит, прямая пересечения плоскостей MNK
и ABC
проходит через точку M
параллельно высоте CQ
равностороннего треугольника ABC
. Эта прямая пересекает ребро AC
в точке L
.
Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки N
на ребро AB
. Тогда NP
— перпендикуляр к плоскости ABC
, MP
— ортогональная проекции наклонной NM
на эту плоскость. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах NM\perp ML
.
Отрезки NK
и ML
параллельны и равны (каждый из них параллелен высоте равностороннего треугольника и составляет \frac{2}{3}
от неё). Значит, MNKL
— параллелограмм, а так как NM\perp ML
— это прямоугольник.
Из прямоугольного треугольника MNP
находим, что
MN=\sqrt{NP^{2}+MP^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3},
а из подобия треугольников AML
и AQC
—
LM=\frac{2}{3}CQ=\frac{2}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.
Значит, MN=LN
. Следовательно, MNKL
— квадрат.
б) Пусть прямые ML
и BC
, лежащие в плоскости ABC
пересекаются в точке G
, а прямые KG
и CC_{1}
, лежащие в плоскости BB_{1}C_{1}C
, — в точке H
. Тогда сечение призмы плоскостью MNK
— пятиугольник MNKHL
.
Пусть T
— ортогональная проекция точки K
на плоскость ABC
. Тогда T
лежит на ребре BC
, причём CT=C_{1}K=2
. Ортогональная проекция сечения MNKHL
на плоскость ABC
— пятиугольник MPTCL
,
S_{MPCTL}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AML}-S_{\triangle BPT}=S_{\triangle ABC}-2S_{\triangle AML}=
=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ALP}=\frac{36\sqrt{3}}{4}-\frac{16\sqrt{3}}{4}=5\sqrt{3}.
Линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и основания ABC
— это угол PMN
. Из прямоугольного треугольника PMN
находим, что
\cos\angle PMN=\frac{MP}{NM}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Следовательно, по теореме о площади ортогональной проекции (см. задачу 8093)
S_{MNKHL}=\frac{S_{MPTCL}}{\cos\angle PMN}=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=15.
Источник: ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 7.24, с. 66