9367. В правильной четырёхугольной призме ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
сторона основания AB
равна 6, а боковое ребро AA_{1}
равно 4\sqrt{3}
. На рёбрах AB
, A_{1}D_{1}
и C_{1}D_{1}
отмечены точки M
, N
и K
соответственно, причём AM=A_{1}N=C_{1}K=1
.
а) Пусть L
— точка пересечения плоскости MNK
с ребром BC
. Докажите, что MNKL
— квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK
.
Ответ. 55.
Решение. а) Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому плоскость MNK
пересекает их по параллельным прямым (см. задачу 8009). Значит, прямая пересечения плоскостей MNK
и ABCD
проходит через точку M
параллельно диагонали AC
квадрата ABCD
. Эта прямая пересекает ребро BC
в точке L
. При этом
CL=AM=1,~MP=\frac{1}{6}BD=\frac{1}{6}\cdot AB\sqrt{2}=\frac{1}{6}\cdot6\sqrt{2}=\sqrt{2}.
Стороны NK
и ML
четырёхугольника MNKL
параллельны и равны (каждая из них равна \frac{5}{6}
диагонали квадрата). Значит, это параллелограмм.
Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки N
на ребро AD
. Тогда NP
— перпендикуляр к плоскости ABC
, MP
— ортогональная проекции наклонной NM
на эту плоскость, AP=A_{1}N=AM=1
, MP\parallel BD
, MP\perp ML
. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах NM\perp ML
. Значит, MNKL
— прямоугольник.
Из прямоугольного треугольника MNP
находим, что
MN=\sqrt{NP^{2}+MP^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=5\sqrt{2},
а из подобия треугольников AML
и AQC
—
ML=\frac{5}{6}AC=\frac{5}{6}\cdot6\sqrt{2}=5\sqrt{2}.
Значит, MN=ML
. Следовательно, MNKL
— квадрат.
б) Пусть прямая ML
пересекает прямые AD
и CD
в точках E
и F
соответственно, прямые NE
и AA_{1}
, лежащие в плоскости AA_{1}D_{1}D
, пересекаются в точке G
, а прямые KF
и CC_{1}
, лежащие в плоскости BB_{1}C_{1}C
, — в точке H
. Тогда сечение призмы плоскостью MNK
— шестиугольник MGNKHL
.
Пусть T
— ортогональная проекция точки K
на плоскость ABCD
. Тогда T
лежит на ребре CD
, причём CT=C_{1}K=1
. Ортогональная проекция сечения MGNKHL
на плоскость ABCD
— шестиугольник MAPTCL
,
S_{MAPTCL}=S_{\triangle ABCD}-S_{\triangle CDP}-S_{\triangle MBL}=S_{\triangle ABC}-2S_{\triangle MBL}=
=6^{2}-2\cdot\frac{1}{2}\cdot5\cdot5=36-25=11.
Линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и основания ABCD
— это угол PMN
. Из прямоугольного треугольника PMN
находим, что
\cos\angle PMN=\frac{MP}{NM}=\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{5}.
Следовательно, по теореме о площади ортогональной проекции (см. задачу 8093)
S_{MGNKHL}=\frac{S_{MAPTCL}}{\cos\angle PMN}=\frac{11}{\frac{1}{5}}=55.