9423. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, все рёбра которой равны 1. Точка M
— середина ребра AC
. Найдите расстояние между прямыми BM
и AC_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Пусть N
— середина ребра CC_{1}
. Плоскость BMN
проходит через прямую BM
и содержит прямую MN
, параллельную AC_{1}
(средняя линия треугольника ACC_{1}
), значит, прямая AC_{1}
параллельна этой плоскости, и расстояние между прямыми BM
и AC_{1}
равно расстоянию от произвольной точки прямой AC_{1}
, например, от точки A
, до плоскости BMN
(см. задачу 7889). Поскольку M
— середина ребра AC
, точки A
и C
равноудалены от этой плоскости (см. задачу 9180). Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки C
до плоскости BMN
.
Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника MCN
. Тогда CH
— перпендикуляр к плоскости BMN
, так как CH\perp MN
и CH\perp BM
(по теореме о трёх перпендикулярах). Следовательно, расстояние между прямыми BM
и AC_{1}
равно длине отрезка CH
.
Из равнобедренного прямоугольного треугольника MCN
находим, что
CH=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}.