9424. Все рёбра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
равны 1. Найдите расстояние между прямыми AE_{1}
и DB_{1}
.
Ответ. 1.
Решение. Плоскость BB_{1}D_{1}D
проходит через прямую DB_{1}
и содержит прямую BD_{1}
, параллельную AE_{1}
(ABD_{1}E_{1}
— параллелограмм). Значит, прямая AE_{1}
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002). Следовательно, расстояние между прямыми AE_{1}
и DB_{1}
равно расстоянию от произвольной точки прямой AE_{1}
, например, от точки A
, до плоскости BB_{1}D_{1}D
(см. задачу 7889).
Прямая AB
перпендикулярна плоскости BB_{1}D_{1}D
, так как эта прямая перпендикулярна пересекающимся прямым BB_{1}
и BD
плоскости BB_{1}D_{1}D
. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка AB
, т. е. 1.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5(а), с. 55