9434. Плоскость проходит через середину ребра AB
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
параллельно прямым BD
и BC_{1}
. Найдите площадь сечения куба этой плоскостью, если ребро куба равно a
.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Секущая плоскость параллельна прямым BD
и BC_{1}
, значит, она параллельна плоскости BDC_{1}
. Пусть M
— середина ребра AB
, O
— центр грани ABCD
. По теореме о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью (см. задачу 8009) прямая l
пересечения секущей плоскости с плоскостью ABCD
параллельна BD
. Пусть N
— точка пересечения прямой l
с ребром AD
. Тогда N
— середина AD
.
Пусть K
— точка пересечения MN
и AC
, O
и O_{1}
— центры граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно. Тогда секущая плоскость пересекается с плоскостью AA_{1}C_{1}C
по прямой m
, параллельной C_{1}O
. Пусть L
— точка пересечения прямых m
и A_{1}C_{1}
. Секущая плоскость имеет с плоскостью A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
общую точку L
и пересекает эту плоскость по прямой, параллельной MN
, а значит, и B_{1}D_{1}
. Поскольку KL\parallel OC_{1}
, четырёхугольник KOC_{1}L
— параллелограмм. Значит,
LC_{1}=OK=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}C_{1}O_{1},
т. е. точка L
— середина C_{1}O_{1}
, а секущая плоскость пересекает рёбра B_{1}C_{1}
и C_{1}D_{1}
в их серединах.
Пусть секущая плоскость образует с гранью ABCD
угол \varphi
. Тогда
\angle LKC=\angle C_{1}OC=\varphi,~\cos\varphi=\frac{CO}{OC_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Ортогональная проекция сечения на плоскость ABCD
— шестиугольник, площадь которого равна \frac{3}{4}
площади квадрата ABCD
, т. е. \frac{3}{4}a^{2}
. Следовательно, площадь сечения равна
\frac{\frac{3}{4}a^{2}}{\cos\varphi}=\frac{\frac{3}{4}a^{2}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}
(см. задачу 8093).