9436. Точки K
и N
— середины рёбер соответственно BD
и AC
правильного тетраэдра ABCD
. Найдите угол между прямой KN
и плоскостью ADC
.
Ответ. \arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}=\arctg\frac{1}{\sqrt{2}}
.
Решение. Пусть ребро тетраэдра равно 1. Тогда KN=\frac{\sqrt{2}}{2}
(см. задачу 7046). Синус угла \varphi
между прямой KN
и плоскостью ADC
равен отношению расстояния h
от точки K
до плоскости ADC
к длине наклонной KN
к этой плоскости. Расстояние от точки K
до плоскости ADC
вдвое меньше расстояния до этой плоскости от вершины B
, т. е. высоты данного правильного тетраэдра, проведённой из вершины B
. Значит (см. задачу 7040),
h=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}},~\sin\varphi=\frac{h}{KN}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2(в), с. 45