9457. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и CD
треугольной пирамиды ABCD
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AD
параллельно прямым AB
и CD
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок MN
?
Ответ. 1:1
.
Решение. а) Пусть K
— середина ребра AD
. Плоскость ADB
проходит через прямую AB
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку K
. Значит, секущая плоскость пересекает грань ADB
по прямой, проходящей через точку K
параллельно AB
(см. задачу 8003), т. е. по средней линии KL
треугольника ADB
. Аналогично, секущая плоскость пересекает грань ADC
по по средней линии KE
треугольника ADC
, а грани ABC
и BDC
— по средним линиям EF
и LF
треугольников ABC
и BDC
. Следовательно, требуемое сечение — четырёхугольник KLFE
, противоположные стороны которого попарно параллельны, т. е. параллелограмм.
б) Пусть секущая плоскость пересекает медианы DM
и CM
граней ADB
и ABC
в точках P
и Q
соответственно, а прямые MN
и PQ
, лежащие в плоскости CMD
пересекаются в точке T
. Тогда T
— точка пересечения отрезка MN
с секущей плоскостью. Отрезок MN
— медиана треугольника CMD
, а PQ
— средняя линия, следовательно (см. задачу 1881), T
— середина отрезка MN
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.16, с. 12