9486. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер AB
, AD
параллельно ребру SC
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и AD
соответственно, O
— центр основания пирамиды, L
— точка пересечения прямых MN
и AC
.
Плоскость ASC
проходит через прямую SC
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку L
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку L
параллельно SC
(см. задачу 8003). Пусть прямая l
пересекает ребро SA
в точке K
. Тогда требуемое сечение — треугольник MKN
.
Примечание. Отрезок AO
— медиана треугольника ABD
, а MN
— средняя линия этого треугольника, поэтому
AL=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{4}AC
(см. задачу 1881), а так как LK\parallel SC
, то по теореме о пропорциональных отрезках AK:KS=AL:LC=1:3
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4(г), с. 9