9506. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
. Все рёбра призмы равны a
. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A
, B
и D_{1}
.
Ответ. 3a^{2}
.
Решение. Прямая AB
параллельна плоскости основания ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, так как она параллельна прямой D_{1}E_{1}
, лежащей в этой плоскости. Секущая плоскость проходит через прямую AB
, параллельную плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, и имеет с этой плоскостью общую точку D_{1}
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку D_{1}
параллельно AB
(см. задачу 8003), т. е. по прямой D_{1}E_{1}
.
Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой AB
с прямыми CD
и EF
соответственно, M
— точка пересечения D_{1}P
с ребром CC_{1}
, а N
— точка пересечения E_{1}Q
с ребром FF_{1}
. Тогда треугольник BPC
равносторонний, поэтому CP=BC=CD=C_{1}D_{1}
. Из равенства треугольников CMP
и C_{1}MD_{1}
получаем, что M
— середина ребра CC_{1}
. Аналогично N
— середина ребра FF_{1}
. Таким образом, сечение, о котором говорится в условии задачи, — шестиугольник ABMD_{1}E_{1}N
.
Поскольку DB\perp PQ
, по теореме о трёх перпендикулярах D_{1}B\perp PQ
. Значит, DBD_{1}
— линейный угол двугранного угла между плоскостями сечения и основания ABCDEF
. Из прямоугольного треугольника DBD_{1}
находим, что
\angle DBD_{1}=\frac{DD_{1}}{DB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Следовательно, \angle DBD_{1}=30^{\circ}
.
Правильный шестиугольник ABCDEF
— ортогональная проекция сечения ABMD_{1}E_{1}N
на плоскость ABC
, следовательно (см. задачу 8093),
S_{ABMD_{1}E_{1}N}=\frac{S_{ABMD_{1}E_{1}N}}{\cos\angle DBD_{1}}=\frac{S_{ABMD_{1}E_{1}N}}{\cos30^{\circ}}=\frac{\frac{3}{2}a^{2}\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=3a^{2}.