9508. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Все рёбра призмы равны a
. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через прямую BC_{1}
параллельно медиане AM
основания ABC
.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{6}}{4}
.
Решение. Плоскость ABC
проходит через прямую AM
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку B
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку B
параллельно AM
(см. задачу 8003). Пусть прямые l
и AC
пересекаются в точке K
. Тогда AM
— средняя линия треугольника BCK
, поэтому AK=AC=A_{1}C_{1}
.
Пусть прямые C_{1}K
и AA_{1}
, лежащие в плоскости AA_{1}C_{1}C
, пересекаются в точке N
. Тогда сечение, о котором говорится в условии задачи, — треугольник BC_{1}N
. Ортогональная проекция этого треугольника на плоскость ABC
— равносторонний треугольник ABC
со стороной a
, значит, S_{\triangle ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Пусть AH
— перпендикуляр, опущенный из точки A
на прямую BK
пересечения секущей плоскости с плоскостью основания ABC
. Тогда AH
— средняя линия треугольника BCK
, поэтому AH=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}
. По теореме о трёх перпендикулярах NF\perp BK
, значит, AHN
— линейный угол двугранного угла между этими плоскостями. Из равенства треугольников ANK
и A_{1}NC_{1}
получаем, что N
— середина ребра AA_{1}
. Тогда NA_{1}=\frac{a}{2}
. Треугольник AHN
прямоугольный и равнобедренный, значит, \angle AHN=45^{\circ}
. Следовательно (см. задачу 8093),
S_{\triangle BC_{1}N}=\frac{S_{\triangle ABC}}{\cos\angle ANH}=\frac{\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}{\cos45^{\circ}}=\frac{\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{a^{2}\sqrt{6}}{4}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4(г), с. 62