9524. Объём треугольной пирамиды ABCD
равен 1. Найдите объёмы частей, на которые пирамида разбивается плоскостью, проходящей через середины рёбер AB
, BC
и CD
.
Ответ. \frac{1}{2}
и \frac{1}{2}
.
Решение. Пусть M
, N
и K
— середины рёбер AB
, BC
и CD
соответственно. Тогда сечение пирамиды плоскостью, о которой говорится в условии задачи, — параллелограмм MNKL
, где L
— середина ребра AD
.
Секущая плоскость разбивает данную пирамиду (её объём обозначим V
) на два многогранника, один из которых содержит точку A
, а второй не содержит. Первый из этих многогранников (его объём обозначим V_{1}
) можно разбить на треугольную призму AMLPNK
с основаниями AML
, PNK
и боковыми рёбрами MN\parallel KL\parallel AP
(её объём обозначим V_{2}
) и треугольную пирамиду KCPN
с вершиной K
(её объём обозначим V_{3}
).
Пусть KH=h
— перпендикуляр, опущенный из точки K
на плоскость ABC
, s
— площадь треугольника ABC
. Тогда высота исходной пирамиды равна 2h
,
V=\frac{1}{3}s\cdot2h=\frac{2}{3}sh,~V_{2}=\frac{1}{2}S_{AMNP}h=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}sh=\frac{1}{4}sh,
(см. задачу 7237),
V_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}sh=\frac{1}{12}sh,
V_{1}=V_{2}+V_{3}=\frac{1}{4}sh+\frac{1}{12}sh=\frac{1}{3}sh=\frac{1}{2}V=\frac{1}{2}.
Тогда объём оставшейся части также равен \frac{1}{2}
.
Примечание. См. также задачу 7235.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2(д), с. 70