9528. Дан единичный куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите расстояние от точки B
до плоскости DA_{1}C_{1}
.
Ответ. \frac{2\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Известно, что в любом параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
диагональ BD_{1}
проходит через точку M
пересечения медиан треугольника DA_{1}C_{1}
и делится ею в отношении 2:1
, считая от B
(см. задачу 7212). Известно также, что если параллелепипед является кубом, то диагональ BD_{1}
перпендикулярна плоскости DA_{1}C_{1}
(см. задачу 7300). Следовательно, искомое расстояние BM
равно двум третям диагонали куба, т. е. \frac{2}{3}\sqrt{3}
.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 13, с. 47
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1(ж), с. 34