9536. Дана шестиугольная призма ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, основания которой — правильные шестиугольники. Точка O
— центр основания ABCDEF
, M
— середина бокового ребра DD_{1}
. Постройте прямую пересечения плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
с плоскостью, проходящей через точки O
и M
параллельно прямой AE
.
Решение. Пусть \alpha
— плоскость, проходящая через точки O
и M
параллельно прямой AE
. Плоскость ABC
проходит через прямую AE
, параллельную плоскости \alpha
и имеет с плоскостью \alpha
общую точку O
, значит, плоскости ABC
и \alpha
пересекаются по прямой l
, проходящей через точку O
параллельно AE
(см. задачу 8003).
Пусть прямая l
пересекает рёбра AB
и DE
в точках K
и L
соответственно, а прямые LM
и D_{1}E_{1}
, лежащие в плоскости DEE_{1}D_{1}
, пересекаются в точке P
. Тогда K
и L
— середины рёбер AB
и DE
. Плоскость \alpha
пересекает плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
по прямой m
, проходящей через точку P
параллельно KL
(см. задачу 8009), а значит, и B_{1}D_{1}
.
Из равенства треугольников PMD_{1}
и LMD
следует, что
D_{1}P=DL=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}D_{1}E_{1}=\frac{1}{2}C_{1}D_{1}.
В треугольнике C_{1}PD_{1}
сторона D_{1}P
вдвое меньше стороны C_{1}D_{1}
, а угол между этими сторонами равен 60^{\circ}
, значит, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине P
(см. задачу 2643). Тогда \angle D_{1}C_{1}P=30^{\circ}
, а так как \angle B_{1}D_{1}C_{1}=30^{\circ}=\angle D_{1}C_{1}P
, то PC_{1}\parallel B_{1}D_{1}
. Следовательно, прямая PC_{1}
совпадает с прямой m
. Итак, плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
и \alpha
пересекаются по прямой PC_{1}
.