9544. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с рёбрами AB=2
, AD=4
, AA_{1}=6
. Найдите расстояние от середины ребра D_{1}C_{1}
до плоскости, проходящей через середины рёбер AB
, AD
и CC_{1}
.
Ответ. \frac{8}{3}
.
Решение. Пусть K
, L
, M
и P
— середины рёбер AB
, AD
, CC_{1}
и C_{1}D_{1}
соответственно. Введём прямоугольную систему координат, взяв за её начало вершину A
и направив оси Ax
, Ay
и Az
по лучам AD
, AB
и AA_{1}
соответственно. Найдём координаты следующих точек: L(2;0;0)
, K(0;1;0)
, M(4;1;3)
, P(4;1;6)
. Тогда уравнение плоскости KLM
в отрезках (см. задачу 7564) имеет вид \frac{x}{2}+y+\frac{z}{c}=1
. Подставив в это уравнение координаты точки M
, найдём, что c=-1
. Таким образом, уравнение плоскости KLM
можно записать в виде \frac{x}{2}+y-z=1
, или x+2y-2z-2=0
. Пусть расстояние от точки P(4;1;6)
до этой плоскости равно d
. Тогда (см. задачу 7563)
d=\frac{|4+2\cdot1-2\cdot6-2|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}=\frac{8}{3}.