9548. Дана правильная треугольная пирамида ABCD
с вершиной D
, стороной основания AB=\sqrt{3}
и высотой DH=\sqrt{3}
. Найдите расстояние между прямыми AM
и DN
, где M
и N
— середины рёбер BC
и AB
соответственно.
Ответ. \sqrt{\frac{3}{17}}
.
Решение. Пусть P
— проекция точки N
на прямую, проведённую через точку A
параллельно BC
, а Q
— проекция точки D
на прямую, проведённую через точку A
параллельно DH
. Введём прямоугольную систему координат, взяв за её начало точку A
и направив оси Ox
, Oy
и Oz
по лучам AM
, AP
и AQ
соответственно. Найдём координаты следующих точек: A(0;0;0)
, M\left(\frac{3}{2};0;0\right)
, D(1;0;\sqrt{3})
, N\left(\frac{3}{4};\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)
. Пусть K
— точка пересечения прямых NP
и BC
. Тогда прямая AM
параллельна плоскости DNK
, так как AM\parallel NK
. Значит, расстояние между прямыми AM
и DN
равно расстоянию от произвольной точки прямой AM
(например, от точки A(0;0;0)
) до этой плоскости (см. задачу 7889). Уравнение плоскости DNK
можно записать в виде \frac{y}{AP}+\frac{z}{AQ}=1
(см. задачу 7563), или \frac{4y}{\sqrt{3}}+\frac{z}{\sqrt{3}}=1
. Значит, уравнение плоскости DNK
имеет вид 4y+z-\sqrt{3}=0
. По формуле расстояния от точки до плоскости (см. задачу 7563) находим, что
d=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4^{2}+1^{2}}}=\sqrt{\frac{3}{17}}.