9551. На каждом из 12 рёбер куба отметили его середину. Обязательно ли сфера проходит через все отмеченные точки, если известно, что она проходит:
а) через какие-то шесть из отмеченных точек;
б) через какие-то семь из отмеченных точек?
Ответ. а) Не обязательно; б) обязательно.
Решение. Первый способ. а) Рассмотрим вершину A
куба. Середины шести рёбер, выходящих из вершины A
или противоположной вершины, отметим синим цветом, а остальные — красным. Расстояния от A
до красных точек одни и те же, а до синих — другие. Поэтому через шесть красных точек проходит сфера с центром A
, не содержащая синих точек.
б) Верхняя и нижняя грани куба содержат по четыре отмеченных точки. Оставшиеся четыре точки находятся в горизонтальной плоскости, проходящей через центр O
куба. Из семи отмеченных точек, через которые проходит сфера, какие-то три принадлежат одной из трёх указанных плоскостей. В этой плоскости четыре отмеченные точки лежат на окружности. Поскольку три из этих точек лежат на сфере, то её центр находится на вертикальной прямой, проходящей через точку O
(см. задачу 9056). Рассмотрев вместо верхней и нижней переднюю и заднюю грани, мы аналогично докажем, что центр сферы принадлежит другой прямой, проходящей через O
. Следовательно, центр сферы совпадает с O
. Поскольку расстояния от O
до всех середин рёбер одинаковые, все отмеченные точки лежат на этой сфере.
Второй способ. Все 12 точек лежат на сфере, центр которой совпадает с центром куба. Если некоторые из них лежат на другой сфере, то они лежат на окружности пересечения двух сфер, т. е. в одной плоскости (см. задачу 9166). Сечение куба этой плоскостью имеет не более шести сторон, поскольку у куба шесть граней. При этом только вершины сечения лежат на рёбрах куба. Следовательно, семь отмеченных точек не могут лежать на другой сфере. А шесть могут, поскольку у куба есть сечение в виде правильного шестиугольника с вершинами в серединах рёбер. Такие точки и указаны в первом способе.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Турнир городов. — 2015-2016, XXXVII, весенний тур, базовый вариант, 10-11 классы