9555. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 1. Из трёх углов при вершине пирамиды два — прямые. Найдите наибольший объём пирамиды.
Ответ. \frac{1}{16}
.
Решение. Пусть ABC
— основание пирамиды, стороны AC
, и BC
видны из её вершины S
под прямыми углами. Тогда точки S
и C
лежат на окружности \omega
пересечения сфер (см. задачу 9166) с диаметрами AC
и BC
. Из середины D
ребра AB
рёбра AC
и BD
видны под прямыми углами, поэтому D
также лежит на окружности \omega
.
Прямая CS
перпендикулярна плоскости ASB
, так как SC\perp SA
и SC\perp SB
. Значит, \angle CSD=90^{\circ}
, поэтому CD
— диаметр окружности \omega
.
Прямая AB
перпендикулярна плоскости CSD
, так как AB\perp CD
и AB\perp SC
. Тогда плоскость ABC
проходит через прямую AB
, перпендикулярную плоскости CSD
, т. е. плоскости окружности \omega
. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей плоскость окружности \omega
перпендикулярна плоскости ABC
(см. задачу 7710).
Таким образом, вершина S
пирамиды SABCD
лежит на окружности, с диаметром CD
, плоскость которой перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, наибольшая высота такой пирамиды равна половине CD
, т. е. \frac{\sqrt{3}}{4}
, а наибольший объём равен
\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot\frac{1}{2}CD=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{16}.
Автор: Шноль Д. Э.
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2007, 11 класс