9579. Найдите геометрическое место середин отрезков данной длины, концы которых лежат на двух данных скрещивающихся перпендикулярных прямых.
Ответ. Окружность.
Решение. Пусть k
и m
— данные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, расстояние между которыми равно h
. Рассмотрим плоскость \alpha
, параллельную каждой из данных прямых и равноудалённую от них. Эта плоскость есть геометрическое место середин всех отрезков с концами на прямых k
и m
(см. задачу 7232).
Пусть рассматриваемый отрезок KM
равен a
. Рассмотрим прямые k'
и m'
— ортогональные проекции прямых соответственно k
и m
на плоскость \alpha
и точку O
их пересечения. Поскольку прямые k
и m
параллельны плоскости \alpha
, то k'\parallel k
и m'\parallel m
. По условию k\perp m
, поэтому k'\perp m'
. Кроме того, если K'
и M'
— ортогональные проекции точек соответственно K
и M
на плоскость \alpha
, то K'M'=\sqrt{a^{2}-h^{2}}
.
Это означает, что точка C
— середина гипотенузы K'M'
прямоугольного треугольника K'OM'
тогда и только тогда, когда
OC=\frac{1}{2}K'M'=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}-h^{2}}.
Таким образом, искомое ГМТ — множество точек плоскости \alpha
, находящихся от точки O
на расстоянии R=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}-h^{2}}
, а это есть окружность с центром O
и радиусом R
.
Примечание. Отметим, что в процессе решения исходная задача сведена к аналогичной планиметрической: найти геометрическое место середин отрезков данной длины, концы которых лежат на данных перпендикулярных прямых (см. задачу 2448).
Источник: Московская математическая регата. — 2006-2007, 10 класс